نافذة العمرانية التعليمية.

عزيزي الطالب. إليك مراجعة عامة على ما سبق دراستة في ( الجبر والهندسة ) شهر أبريل.

اهم القوانين:
تحليل مقدار ثلاثي بسيط.
اذا كان لدينا مقدار ثلاثي علي صورة
س² + ب س + جـ
حيث:
 * س²: هو الحد الأول (سين تربيع).
 * ب س: هو الحد الأوسط (باء مضروبة في سين).
 * جـ: هو الحد الثالث (جيم).
فإننا نبحث عن عددين، لنسمهما (ل) و (ك)، بحيث يتحقق الشرطان التاليان:
 * حاصل ضرب العددين يساوي الحد الثالث:
   ل × ك = جـ
 * حاصل جمع العددين يساوي معامل الحد الأوسط:
   ل + ك = ب
عندما نجد هذين العددين (ل) و (ك)، فإن تحليل المقدار الثلاثي يكون على الصورة:
(س + ل) (س + ك)
مثال:
حلل المقدار الثلاثي: س² + 5س + 6
 * نبحث عن عددين حاصل ضربهما 6 وحاصل جمعهما 5.
   العددان هما 2 و 3 (لأن 2 × 3 = 6 و 2 + 3 = 5).
 * نكتب التحليل:
   (س + 2) (س + 3)


*تحليل مقدار ثلاثي غير بسيط:
إذا كان لدينا مقدار ثلاثي على الصورة:
أ س² + ب س + جـ
حيث:
 * أ س²: هو الحد الأول (ألف مضروبة في سين تربيع)، ولاحظ هنا أن أ ≠ 1.
 * ب س: هو الحد الأوسط (باء مضروبة في سين).
 * جـ: هو الحد الثالث (جيم).
فإننا نحاول تحليله إلى حاصل ضرب قوسين على الصورة:
(هـ س + ل) (و س + ك)
حيث:
 * هـ و و عددان حاصل ضربهما يساوي معامل الحد الأول:
   هـ × و = أ
 * ل و ك عددان حاصل ضربهما يساوي الحد الثالث:
   ل × ك = جـ
 * ويجب أن يتحقق الشرط التالي للحد الأوسط:
   (هـ × ك) + (و × ل) = ب
طريقة أخرى للتفكير في الأمر (خاصة عندما تكون الأعداد بسيطة):
 * نضرب معامل الحد الأول (أ) في الحد الثالث (جـ):
   أ × جـ
 * نبحث عن عددين، لنسمهما (م) و (ن)، بحيث يتحقق الشرطان التاليان:
   * حاصل ضرب العددين يساوي نتيجة الخطوة الأولى:
     م × ن = أ × جـ
   * حاصل جمع العددين يساوي معامل الحد الأوسط:
     م + ن = ب
 * نعيد كتابة الحد الأوسط (ب س) باستخدام العددين (م) و (ن):
   أ س² + م س + ن س + جـ
 * نحلل بالتجميع: نأخذ العامل المشترك من الحدين الأولين ثم من الحدين الأخيرين.
مثال:
حلل المقدار الثلاثي: 2س² + 7س + 3
 * نضرب معامل الحد الأول في الحد الثالث:
   2 × 3 = 6
 * نبحث عن عددين حاصل ضربهما 6 وحاصل جمعهما 7.
   العددان هما 6 و 1 (لأن 6 × 1 = 6 و 6 + 1 = 7).
 * نعيد كتابة الحد الأوسط:
   2س² + 6س + 1س + 3
 * نحلل بالتجميع:
   * نأخذ العامل المشترك من الحدين الأولين (2س):
     2س (س + 3)
   * نأخذ العامل المشترك من الحدين الأخيرين (1):
     1 (س + 3)
   * نأخذ العامل المشترك بين الحدين الناتجين وهو (س + 3):
     (س + 3) (2س + 1)
إذن، تحليل المقدار الثلاثي 2س² + 7س + 3 هو (س + 3) (2س + 1).

*تحليل الفرق بين مربعين:
إذا كان لدينا مقدار على الصورة:
أ² - ب²
حيث:
 * أ²: هو مربع الحد الأول (ألف تربيع).
 * ب²: هو مربع الحد الثاني (باء تربيع).
 * -: علامة الطرح بينهما.
فإن تحليل هذا المقدار يكون على الصورة:
(أ - ب) (أ + ب)
بمعنى:
نفتح قوسين:
 * في القوس الأول، نكتب جذر الحد الأول ناقص جذر الحد الثاني.
 * في القوس الثاني، نكتب جذر الحد الأول زائد جذر الحد الثاني.
مثال:
حلل المقدار: س² - 9
 * الحد الأول هو س²، وجذره التربيعي هو س.
 * الحد الثاني هو 9، وجذره التربيعي هو 3.
 * نطبق القانون:
   (س - 3) (س + 3)
إذن، تحليل المقدار س² - 9 هو (س - 3) (س + 3).

*تحليل مجموع مكعبين و الفرق بينهما:
أولاً: تحليل مجموع مكعبين
إذا كان لدينا مقدار على الصورة:
أ³ + ب³
حيث:
 * أ³: هو مكعب الحد الأول (ألف تكعيب).
 * ب³: هو مكعب الحد الثاني (باء تكعيب).
 * +: علامة الجمع بينهما.
فإن تحليل هذا المقدار يكون على الصورة:
(أ + ب) (أ² - أ ب + ب²)
بمعنى:
نفتح قوسين:
 * القوس الأول: يحتوي على جذر الحد الأول التكعيبي زائد جذر الحد الثاني التكعيبي.
 * القوس الثاني: يحتوي على ثلاثة حدود:
   * الحد الأول: هو مربع جذر الحد الأول التكعيبي (أ²).
   * الحد الثاني: هو عكس إشارة الوسط (تكون طرحًا هنا) مضروبًا في جذر الحد الأول التكعيبي في جذر الحد الثاني التكعيبي (- أ ب).
   * الحد الثالث: هو زائد (دائمًا زائد) مربع جذر الحد الثاني التكعيبي (+ ب²).
مثال:
حلل المقدار: س³ + 8
 * جذر الحد الأول التكعيبي هو س.
 * جذر الحد الثاني التكعيبي هو 2 (لأن 2 × 2 × 2 = 8).
 * نطبق القانون:
   (س + 2) (س² - س × 2 + 2²)
   (س + 2) (س² - 2س + 4)
ثانياً: تحليل الفرق بين مكعبين
إذا كان لدينا مقدار على الصورة:
أ³ - ب³
حيث:
 * أ³: هو مكعب الحد الأول (ألف تكعيب).
 * ب³: هو مكعب الحد الثاني (باء تكعيب).
 * -: علامة الطرح بينهما.
فإن تحليل هذا المقدار يكون على الصورة:
(أ - ب) (أ² + أ ب + ب²)
بمعنى:
نفتح قوسين:
 * القوس الأول: يحتوي على جذر الحد الأول التكعيبي ناقص جذر الحد الثاني التكعيبي.
 * القوس الثاني: يحتوي على ثلاثة حدود:
   * الحد الأول: هو مربع جذر الحد الأول التكعيبي (أ²).
   * الحد الثاني: هو نفس إشارة الوسط (تكون جمعًا هنا) مضروبًا في جذر الحد الأول التكعيبي في جذر الحد الثاني التكعيبي (+ أ ب).
   * الحد الثالث: هو زائد (دائمًا زائد) مربع جذر الحد الثاني التكعيبي (+ ب²).
مثال:
حلل المقدار: ص³ - 27
 * جذر الحد الأول التكعيبي هو ص.
 * جذر الحد الثاني التكعيبي هو 3 (لأن 3 × 3 × 3 = 27).
 * نطبق القانون:
   (ص - 3) (ص² + ص × 3 + 3²)
   (ص - 3) (ص² + 3ص + 9)
أتمنى أن يكون هذا الشرح واضحًا ومفيدًا لك!

إعداد وتقديم 
مدرس مادة الرياضيات للصف الثاني الاعدادي في النافذة.
هذا العمل التطوعي إهداء من 
فريق انا متطوع العمرانية 
بالتعاون مع جمعية الجواهر الخيرية 
كن إنسان أو مت وأنت تحاول 🌹 
بتاع مبادرات 🦅